mintermos e maxtermos

Na álgebra booleana, qualquer função booleana pode ser expressada na sua forma canônica usando os conceitos de mintermos e maxtermos.

mintermos

Um mintermo é um produto no qual todas as n variáveis aparecem uma única vez. Considere uma função $E(x_1,x_2,...,x_n)$ definida por uma soma de produtos, onde cada variável aparece uma única vez. Essa função representa uma soma de mintermos. Note que a quantidade máxima de mintermos de uma função com n variáveis é $2^n$ . Por exemplo:

$E(x_1,x_2,x_3) = \bar{x_1}.x_2.x_3 + x_1.\bar{x_2}.\bar{x_3} + x_1.x_2.x_3$ é uma soma de mintermos.

$H(x_1,x_2,x_3) = x_1.x_2.x_3$ é uma soma de mintermos.

$U(x_1,x_2,x_3) = x_1.x_2.\bar{x_2}$ não é uma soma de mintermos, pois $x_2$ apareceu duas vezes em um mesmo termo.

Utiliza-se a notação $m_k$ para designar um mintermo, onde k é o valor decimal equivalente ao mintermo. Variáveis diretas (não barradas) representam o “1″ lógico e os seus complementos representam 0. Exemplo:

$Y(x_0,x_1,...,x_n) = m_0 + m_1 + m_2 + ... + m_{2^n-1}$ – forma geral de uma soma de mintermos.

Vamos representar a soma de mintermos $E(x_0,x_1,x_2) = x_0.x_1.\bar{x_2} + x_0.\bar{x_1}.x_2 + \bar{x_0}.x_1.x_2$ usando a notação. Veja que $x_0.x_1.\bar{x_2}$ equivale a $110_2 = 6$ (já que as variáveis diretas equivalem a 1), $x_0.\bar{x_1}.x_2 = 101_2 = 5$ e, finalmente, $\bar{x_0}.x_1.x_2 = 011_2 = 3$ . Logo $E(x_0,x_1,x_2) = m_6 + m_5 + m_3$

De uma forma mais compacta, podemos representar a função acima como $E(x_0,x_1,x_2) = \sum{m(6,5,3)}$ .

maxtermos

Maxtermos, de certa forma, é o oposto de um mintermo. Um maxtermo é uma soma no qual todas as n variáveis aparecem uma única vez. Considere uma função $F(x_0,x_1,x_2)$ definida por um produto de somas, onde cada variável aparece uma única vez. Essa função representa um produto de maxtermos. Assim como os mintermos, a quantidade máxima de termos no produto de maxtermos é dada por $2^n$ , onde n é a quantidade de variáveis da função. Por Exemplo:

$F(x_0,x_1,x_2) = (x_0+x_1+x_2).(x_0+x_1+\bar{x_2})$ é um produto de maxtermos.

$U(x_0,x_1,x_2) = (x_0+x_1+x_2).(x_0+x_1+\bar{x_1})$ não é um produto de maxtermos.

Utiliza-se a notação $M_k$ para designar um mintermo, onde k é o valor decimal equivalente ao mintermo. Variáveis diretas (não barradas) representam o “0” lógico e os seus complementos representam 1. Exemplo:

$Y(x_0,x_1,...,x_n) = M_0.M_1.M_2. ... .M_{2^n-1}$ – forma geral de um produto de maxtermos.

Vamos representar a soma de maxtermos $E(x_0,x_1,x_2) = (x_0+x_1+\bar{x_2}).(x_0+\bar{x_1}+x_2).(\bar{x_0}+x_1+x_2)$ usando a notação. Veja que $x_0+x_1+\bar{x_2}$ equivale a $001_2 = 1$ (já que as variáveis diretas equivalem a 0), $x_0+\bar{x_1}+x_2 = 010_2 = 2$ e, finalmente, $\bar{x_0}+x_1+x_2 = 100_2 = 4$ . Logo $E(x_0,x_1,x_2) = M_1.M_2.M_4$